Teilerfremd einfach erklärt

Was bedeutet teilerfremd? Wie finde ich teilerfremde Zahlen? Wie prüfe ich, ob zwei Zahlen teilerfremd sind oder nicht? Diese und weitere Fragen beantworte ich hier mit Beispielen. Ich versuche die Inhalte so einfach zu erklären, wie ich dies selbst bei meiner Oma (lange aus der Schule raus) tun würde.

Zwei unterschiedliche Zahlen sind teilerfremd wenn sie nur die 1 als gemeinsamen Teiler haben. Als Beispiel sehen wir uns die Teiler von 4 und 5 an. Die Zahl 4 lässt sich durch 1, 2 und 4 ohne Rest teilen. Die Zahl 5 lässt sich durch 1 und 5 teilen. Die Teiler schreiben wir eine Teilermenge:

Nur die Zahl 1 befindet sich in beiden Teilermengen. Die beiden Zahlen 4 und 5 haben keine weiteren Teiler und sind aus diesem Grund teilerfremd.

Wie finde ich teilerfremde Zahlen?

Die einfachste Möglichkeit zwei teilerfremde Zahlen zu finden ist zwei Primzahlen auszuwählen. Primzahlen sind Zahlen, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. Wähle ich daher zwei verschiedene Primzahlen können diese logischerweise keinen gemeinsamen Teiler haben.

So sind zum Beispiel die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 oder 41 alle zueinander teilerfremd. Falls du noch weitere Primzahlen suchst oder noch mehr über Primzahlen lernen möchtest, findest du Informationen zu diesen unter Primzahlen: Beispiele und Erklärungen.

Prüfen auf Teilerfremdheit:

Um zu überprüfen, ob zwei Zahlen teilerfremd sind gibt es mehrere Möglichkeiten. Eine Möglichkeit wurde bereits in der Einleitung weiter oben erwähnt. So kann man sich die Teilermengen von zwei Zahlen aufschreiben. Falls du nicht weißt wie man die Teiler berechnet, lernst du dies unter Teiler und Vielfache.

Sind die Zahlen 36 und 48 teilerfremd? Um dies zu überprüfen, sehen wir uns die Teilermenge beider Zahlen einmal an. Und hier fällt sofort auf: Es gibt Teiler die in beiden Mengen auftauchen. Aus diesem Grund sind die Zahlen nicht teilerfremd.

Der größte gemeinsame Teiler - kurz ggT genannt - ist in unserem Beispiel die Zahl 12. Sind zwei Zahlen teilerfremd ist der größte gemeinsame Teiler hingegen 1.

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Sind zwei große Zahlen teilerfremd?

Zwei große Zahlen können mit der Primfaktorzerlegung überprüft werden, ob diese teilerfremd sind oder nicht. Wir sehen uns dazu gleich ein Beispiel an. Die allgemeine Vorgehensweise ist diese:

• Jede Zahl in Primfaktoren zerlegen.
• Die Primfaktoren jeweils als Potenz schreiben.
• Die kleinsten Potenzen übernehmen die in beiden Zerlegungen vorkommen.
• Den größten gemeinsamen Teiler berechnen.
• Prüfen, ob der ggT 2 oder größer ist.

Als Beispiel soll überprüft werden, ob die Zahlen 99 und 351 teilerfremd sind. Dazu zerlegen wir zunächst die 99 in Primfaktoren, sprich in Multiplikationen aus möglichst kleinen Zahlen (= Primzahlen). Die 99 zerlegen wir dazu in 3 · 3 · 11 und schreiben dieses Ergebnis als Potenz.

Die 351 zerlegen wir ebenfalls in Primfaktoren. Wir erhalten 3 · 3 · 3 · 13 als Primfaktorzerlegung und schreiben dies ebenfalls als Potenz mit 3³ · 13¹.

Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden streichen wir zunächst alle Potenzen deren Basen nur 1 Mal vorkommen. Die 11 kommt nur in einer Zerlegung vor, ebenso kommt die 13 nur in einer Zerlegung vor. Daher fallen beide raus. Die Basis 3 kommt in beiden Zerlegungen vor und wird daher mit der kleineren Potenz übernommen: 3² ist kleiner als 3³, daher übernehmen wir 3².

Der größte gemeinsame Teiler von 99 und 351 ist 9. Die 9 ist eine natürliche Zahl größer 1 und ein Teiler beider Zahlen. Daher sind 99 und 351 nicht teilerfremd.