Nullstellen bestimmen

Kann man das Bestimmen von Nullstellen so einfach erklären, dass jeder diese versteht? Wir versuchen es hier. Stellt euch vor ein Schüler kommt nach der Schule zu seiner Oma und versucht ihr zu erklären, was Nullstellen sind und wie man diese berechnet. Glaubt ihr eine echte Oma würde die folgenden Erklärungen verstehen?

Schüler: Wir haben heute Nullstellen in der Schule besprochen. Weißt du noch was das war?

Oma: Ich weiß was eine Null ist. Dein Opa war eine Null. Aber eine Nullstelle sagt mir nichts.

Schüler: Das ist ein Begriff aus der Mathematik. Am einfachsten sieht man es an einer Zeichnung. Das blaue in der nächsten Grafik ist eine gezeichnete Funktion, also hier wurde ein Zusammenhang in der Mathematik grafisch dargestellt.

Oma: Ja und was hat das mit Nullstellen zu tun?

Schüler: Ich habe drei rote Kreise eingezeichnet. Dies sind jeweils die Stellen bei denen die blaue Kurve die x-Achse schneidet. Stell dir vor die Achse an der x steht wäre die Oberfläche der Erde. Dann schlägt die Kurve entweder auf dem Boden auf oder schießt von innerhalb der Erde nach oben in die Luft.

Wofür braucht man Nullstellen?

Oma: Wofür braucht man so etwas?

Schüler: Zum Beispiel wenn man Einnahmen und Ausgaben bei einem Unternehmen in eine Formel gepackt hat. Dann kann man berechnen, ab welchem Punkt das Unternehmen Gewinn oder Verlust macht.

Oma: OK, wofür braucht man noch Nullstellen?

Schüler: Ich habe mal im Internet gesucht. Man braucht dies zum Beispiel noch als Ingenieur wenn man herausfinden möchte, ob ein Regelkreis stabil läuft oder nicht.

Oma: Und wofür brauchen wir es hier?

Schüler: Um den Lehrer zufrieden zu stellen. Wir sollen Nullstellen berechnen können im Mathematik-Unterricht.

Oma: Wie berechnet man Nullstellen?

Schüler: Wir setzen für y in der Gleichung oder Funktion einfach die Zahl 0 ein und lösen nach x auf. Wie dies geht hängt davon ab welchen Typ von Funktion wir haben.

Oma: Ich verstehe noch nicht so ganz. Kannst du mir mal Beispiele vorrechnen?

Schüler: Ja, gehen wir einfach mal ein paar Fälle durch.

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Nullstellen bestimmen: Lineare Gleichung

Oma: OK. Leg los.

Schüler: Die einfachste Variante um die Nullstellen zu bestimmen liegt bei linearen Funktionen oder linearen Gleichungen vor.

Oma: Was bedeutet das?

Schüler: Bei einer linearen Funktion oder Gleichung kommt x vor. Es gibt jedoch kein x², x³, x⁴ oder höher. Zeichnet man diese handelt es sich dabei um einen "geraden Strich".

Schüler: Nehmen wir als Beispiel y = x - 2. Um die Nullstelle - es gibt maximale eine - zu berechnen, setzen wir y = 0. Danach stellen wir die Gleichung nach x um und finden die Nullstelle bei x = 2.

Parabel / Quadratische Funktion Nullstellen

Oma: Was gibt es noch?

Schüler: Es gibt quadratische Funktionen / Gleichungen. Das sind welche bei denen x² vorkommt, jedoch kein x³, x⁴ und so weiter. Parabeln gehören auch zu dieser Art von Gleichungen / Funktionen. Die nächste Grafik zeigt wie eine Parabel bzw. quadratische Funktion aussehen kann mit zwei Nullstellen (rot eingekreist).

Oma: Wie löst man solche Gleichungen?

Schüler: Nehmen wir einmal diese quadratische Gleichung:

Schüler: In der Schule werden typischerweise zwei Varianten behandelt um quadratische Funktionen zu lösen. Diese nennen sich ABC-Formel und Mitternachtsformel. Diese habe ich dir bereits gezeigt. Sieh mal nach unter:

• PQ-Formel für quadratische Funktionen
• Mitternachtsformel für quadratische Funktionen

Funktion 3. Grades Nullstellen

Schüler: Fehlen uns noch Gleichungen bzw. Funktionen 3. Grades. Bei diesen kommt als höchste Potenz x³ vor. Im Internet wird dies oft mit x^3 dargestellt.

Oma: Wie sehen solche Funktionen aus?

Schüler: Die können ganz verschieden aussehen. Und sie können maximal 3 Nullstellen aufweisen, denn es ist eine Funktion 3. Grades.

Oma: Haben wir dieses Thema nicht schon einmal behandelt?

Schüler: Ja. Schau mal hier:

• Polynomdivision für kubische Gleichungen

Nullstellen bestimmen Aufgaben / Übungen

Das Bestimmten von Nullstellen sollte man üben. Aus diesem Grund haben wir eine Reihe an Aufgaben mit Lösungen für euch erstellt. Zur besseren Übersicht werden diese unterteilt nach dem jeweiligen Gebiet. Quadratische Gleichungen / Funktionen werden mit der PQ-Formel bzw. Mitternachtsformel (ABC-Formel) gelöst. Bei Funktionen 3. Grades oder höher greift man auf die Polynomdivision zurück.

• PQ-Formel 1. Aufgabe
• Mitternachtsformel 1. Aufgabe
• Polynomdivision 1. Aufgabe

Die Aufgaben beinhalten auch Fragen um euer Wissen zu den Themen zu testen. Für die Rechenaufgaben liegen Lösungen vor.