Gleichungen umformen

Kann man das Umformungen von Gleichungen so einfach erklären, dass jeder dies versteht? Wir versuchen es hier. Stellt euch vor ein Schüler kommt nach der Schule zu seiner Oma und versucht ihr zu erklären, wie das Umformen von Gleichungen in der Mathematik funktioniert. Glaubt ihr eine echte Oma würde die folgenden Erklärungen verstehen?

Schüler: Welche Zahl muss auf den Strich geschrieben werden?

Oma: Das ist doch ganz einfach? Da muss eine 3 rein.

Schüler: Stimmt. Das kennt man bereits aus der Grundschule. Und wenn ich die Aufgabe so schreibe?

Oma: Keine Ahnung. Auch 3 oder was soll das x?

Schüler: Das "x" ist wie der Strich von weiter oben. In der Mittelstufe setzt man dieses nicht mehr ein, sondern einen Buchstaben (oft x). Stell dir das wie einen Platzhalter für eine Zahl vor.

Oma: Ich muss also das x berechnen?

Schüler: Genau. Ich zeig dir mal wie das geht.

Gleichungen umformen bei Addition

Schüler: In der Mathematik nennt man dies "Gleichungen umformen". Im Prinzip rechnet man "umgekehrt". Um eine Addition (+) zu beseitigen muss ich eine Subtraktion (-) durchführen.

Oma: Verstehe ich nicht. Mal mal ein Beispiel.

Schüler: Ich schreibe dir einmal eine Aufgabe hin. Wir sollen 4 + x = 7 berechnen. Wir möchten x wissen. Um nur x auf der linken Seite vom Ist-gleich zu haben müssen wir die 4 weg bekommen. Die + 4 können wir entfernen, indem wir - 4 rechnen. Bei einer Gleichung gilt die Regel: Was ich auf der linken Seite der Gleichung mache muss ich auch auf der rechten Seite der Gleichung machen. Wir ziehen auf beiden Seiten der Gleichung 4 ab. Links bleibt nur x übrig und rechts erhalten wir 3. Daher ist x = 3.

Oma: Das ist bei der Aufgabe noch einfach. Eigentlich sieht man es direkt.

Schüler: Stimmt. Unser Lehrer meint jedoch, dass die Aufgaben bald sehr viel schwerer werden und wir Lernen sollen wie man rechnerisch Gleichungen löst.

Oma: Damit ich es richtig verstehe. Setze ich die x = 3 wieder in die erste Gleichung ein muss die Lösung stimmen?

Schüler: Richtig. Aus 4 + x = 7 würde 4 + 3 = 7 werden. Oder kurz 7 = 7 und dies stimmt.

Anzeigen:

Gleichungen umformen bei Subtraktion

Oma: Mach dennoch noch einmal ein weiteres Beispiel.

Schüler: Nehmen wir x - 7 = 10. Wie groß ist x?

Oma: Du meintest als Regel, dass ich die umgekehrte Rechnung durchführen muss. In diesem Fall haben wir mit x - 7 eine Subtraktion. Ich muss also eine Addition machen?

Schüler: Ja. Um -7 zu entfernen musst du + 7 rechnen. Wie immer gilt die Regel beim Umformen der Gleichung: Was ich auf der linken Seite der Gleichung mache muss ich auch auf der rechten Seite der Gleichung machen. Ich schreibe es gerade einmal auf:

Schüler: Auf der linken Seite der Gleichung heben sich -7 + 7 auf. Es bleibt nur x übrig. Auf der rechten Seite der Gleichung addieren wir ebenfalls 7 und erhalten 17.

Oma: Die Lösung lautet damit x = 17... Ja, verstehe. Wenn ich dies in die oberste Zeile einsetze erhalte ich 17 - 7 = 10.

Schüler: Der Mathematik-Lehrer würde sagen, dass wie die Gleichung nach x aufgelöst haben.

Gleichungen umformen bei Multiplikation

Schüler: Vielleicht erinnerst du dich noch. In der Mathematik gibt es nicht nur plus und minus, sondern auch mal und geteilt.

Oma: Das kenne sogar ich noch.

Schüler: Auch bei einer Gleichung kann es eine Multiplikation oder eine Division geben. Nehmen wir einmal das Beispiel x · 3 = 30. Auch hier soll doch Umformen das x berechnet werden.

Oma: Wie geht das?

Schüler: Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. Da wir hier mit 3 multiplizieren müssen wir um die 3 zu entfernen durch 3 dividieren. Das heißt wir teilen beide Seiten der Gleichung durch 3. Ich schreib das gerade einmal auf:

Oma: Was ist denn das für ein Strich auf beiden Seiten?'

Schüler: Das ist ein Bruchstrich. Im Prinzip nichts anderes als eine Division (:). Die Schreibweise ist jedoch sehr viel kürzer. Dies bedeutet auf der linken Seite der Gleichung, dass wir x · 3 durch 3 teilen. Auf der rechten Seite der Gleichung soll 30 : 3 geteilt werden. Links fliegt damit 3 raus und rechts haben wir 30 : 3 = 10.

Oma: Kann ich so in etwa verstehen.

Gleichungen umformen bei Division

Schüler: Fehlt noch ein letzter Fall.

Oma: Eine Beispiel mit Division?

Schüler: Ja. Nehmen wir x geteilt durch 7 ist gleich 3. Ich rechne erst einmal vor:

Oma: Wenn in der Aufgabe durch 7 geteilt wird muss ich mit 7 multiplizieren.

Schüler: So ist es. Dadurch fliegt auf der linken Seite der Gleichung die 7 komplett raus und auf der rechten Seite ergibt 3 · 7 = 21.

Oma: Setze ich in der ersten Gleichung für x die 21 ein erhalte ich 21 : 7 = 3.

Schüler: Genau. Dort steht eigentlich 3 = 3.

Oma: Zumindest so einfache Beispiele verstehe ich.

Schüler: Damit fängt man eben an. Man braucht ein bisschen Übung um dies ohne Fehler zu berechnen.

Aufgaben / Übungen Gleichungen umformen

Aufgabe 1:

Ihr solltet selbst einige Aufgaben zum Umformen von Gleichungen lösen. Wir starten hier mit sehr einfachen Aufgaben und steigern den Schwierigkeitsgrad langsam. Wie groß ist x bei der nächsten Gleichung?

• x + 3 = 9

• x = 6
• x = 7
• x = 5
• x = 8

Weiter zur Lösung » Aufgabe überspringen »

Du hast 0 von 5 Aufgaben erfolgreich gelöst.