Mitternachtsformel / ABC-Formel

Kann man die Mitternachtsformel / ABC-Formel so einfach erklären, dass jeder diese versteht? Wir versuchen es hier. Stellt euch vor ein Schüler kommt nach der Schule zu seiner Oma und versucht ihr zu erklären, was diese Formel ist und wie man sie benutzt. Glaubt ihr eine echte Oma würde die folgenden Erklärungen verstehen?

Schüler: Hast du schon einmal etwas von der Mitternachtsformel oder ABC-Formel gehört?

Oma: Nein.

Schüler: Diese benutzt man um quadratische Gleichungen oder quadratische Funktionen zu lösen.

Oma: Ich verstehe kein Wort. Das musst du mir erklären.

Schüler: Wir hatten einmal das Gleichungen umformen besprochen. Dabei versucht man eine Gleichung so zu verändern, dass man x berechnet. Es kann jedoch passieren, dass es nicht x in einer Gleichung gibt, sondern x², sprich die Abkürzung für x · x.

Oma: Ich löse eine Gleichung mit x² dadurch das ich die Mitternachtsformel verwende?

Schüler: Genau. Ganz wichtig ist, dass es kein x³, x⁴ oder höher gibt. Zum Beispiel diese quadratische Gleichung könnte man mit der Mitternachtsformel lösen:

ABC-Formel Beispiel

Oma: Ist ABC-Formel und Mitternachtsformel das selbe?

Schüler: Ja. Ich mache mal ein Beispiel. Nehmen wir die Gleichung von eben:

Oma: Wie fange ich an?

Schüler: Zunächst müssen wir die Gleichung so verändern, dass wir = 0 erhalten. Aus diesem Grund müssen wir die -1 beseitigen. Dazu rechnen wir auf beiden Seiten der Gleichung +1. Auf der linken Seite wird aus der 5 eine 6. Auf der rechten Seite entsteht eine 0.

Oma: Wieso hast du die 3, 9 und 6 farbig markiert?

Schüler: Die brauchen wir jetzt. Wir lesen jetzt a, b und c ab.

Oma: OK. Daher auch der Name ABC-Formel. Was mache ich damit jetzt?

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Formel der Mitternachtsformel

Schüler: Wir brauchen als nächstes die Formel um solche quadratischen Gleichungen lösen zu können.

Oma: Sieht sehr verwirrend aus. Was soll ich damit?

Schüler: Wir setzen hier für a, b und c die entsprechenden Zahlen ein, die wir oben abgelesen haben.

Oma: Sieht schon einfacher aus. Im Anschluss rechne ich?

Schüler: Ja. Wir rechnen alles unter der Wurzel aus und im Nenner machen wir aus 2 · 3 = 6. Dadurch wirkt alles auch gleich viel aufgeräumter.

ABC-Formel Lösung berechnen

Oma: Ich sehe da dieses plus und minus übereinander. Was soll das?

Schüler: Dazu kommen wir gleich. Ich ziehen erst einmal die Wurzel aus 9. Das Ergebnis ist 3. Das plus-minus bedeutet, dass wir zwei Lösungen haben. Wir berechnen den Bruch einmal mit einem plus und einmal mit einem minus. Dadurch erhalten wir zwei Lösungen für unsere quadratische Gleichung.

Oma: Was soll das mit x₁ und x₂?

Schüler: Man nummeriert die Ergebnisse durch. Dabei ist x₁ die erste Lösung und x₂ die zweite Lösung der Gleichung. Allerdings ist es unwichtig, ob wir x₁ = -1 oder x₁ = -2 haben bzw. x₂ = -2 oder x₂ = -1. Wichtig ist nur, dass wir beide Nullstellen berechnen.

Oma: Was sind denn Nullstellen?

Nullstellen und PQ-Formel

Schüler: Wir haben am Anfang die Angaben = 0 gesetzt. Damit haben wir im Prinzip gesagt, dass wir die Punkte suchen, bei denen y = 0 ist. Ich zeichne einmal eine Funktion in ein Koordinatensystem. Wichtig: Das ist nicht die Gleichung von weiter oben, sondern irgend eine quadratische Funktion.

Schüler: Die Stellen bei denen y = 0 beim Funktionsverlauf ist habe ich mit einem kleinen Kreuzchen markiert. Es sind damit die Punkte, an denen der Funktionsverlauf die x-Achse schneidet.

Oma: Verstehe ich... so in etwa. Muss ich noch etwas wissen?

Schüler: Wenn beim Rechnen mit der ABC-Formel unter der Wurzel eine 0 auftaucht ist das plus-Ergebnis und das minus-Ergebnis gleich. Die Nullstellen liegen beide an einer Stelle. Das nennt man doppelte Nullstelle. Ist die Zahl unter der Wurzel negativ wird die Rechnung abgebrochen. Es gibt dann keine Nullstellen, also erreicht der Graph der Funktion nie die x-Achse.

Oma: Und was ist wenn ich die Mitternachtsformel nicht mag?

Schüler: Dann kannst du quadratische Funktionen auch mit der PQ-Formel lösen.

Aufgaben / Übungen Mitternachtsformel

Aufgabe 1: Glaubt ihr das Thema ABC-Formel / Mitternachtsformel verstanden zu haben? Möchtet ihr das Thema ein bisschen üben? Wir bieten euch hier die Möglichkeit Aufgaben zu rechnen und sich die Lösung dabei anzusehen. Da viele Schüler jedoch schon bei den Begriffen scheitern, fangen wir mit einfachen Fragen dazu an. Fragen und Aufgaben können per Klick übersprungen werden.

• Welche Art von Gleichungen kann man mit der Mitternachtsformel lösen?

• Kubische Gleichungen
• Lineare Gleichungen
• Quadratische Gleichungen
• Polynomdivision

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